Question

在平面直角坐标系中，已知，A（-4，0），B（1，0）且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由？
（4）若动点M在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点N，使得以A、B、N、M四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于抛物线经过A（-4，0），B（1，0），C（0，2），所以利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）首先根据AB两点的坐标确定圆心的坐标，然后证明△O′CO∽△CDO，接着利用相似三角形的性质即可求解；
（3）存在．由抛物线对称轴为x=-

3

2

得到⊙O′的半径为

5

2

，设满足条件的圆的半径为R，点E在对称轴左侧，则E的坐标为（-

3

2

-R，-

5

2

-R），而E点在抛物线y=-

1

2

x2-

3

2

x+2上，代入解析式中求出R即可解决问题；
（4）当ABNM为平行四边形时，则AB∥MN，并且AB=MN．由AB=5得到MN=5，而对称为x=-

5

2

，由此得到点N的横坐标为

7

2

或-

13

2

，将x=

7

2

和x=-

13

2

代入y=-

1

2

x2-

3

2

x+2中即可求出得y，然后得到N的坐标，从而说明在抛物线上存在点N，
使得以A、B、N、M四点为顶点的四边形为平行四边形．

解答：解：（1）令二次函数y=ax²+bx+c，则

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=2

       
∴

a=- 1 2 b=- 3 2 c=2

，
∴过A，B，C线的解析式为y=-

1

2

x2 -

3

2

x+2；

（2）以AB径的圆圆心坐标为O′（-

3

2

，0），
∴O′C=

5

2

  O′O=

3

2

QCD为圆O′切线  
∴OC′⊥CD
∴∠O′CD+∠DCO=90°
∠CO′O+∠OCO=90°  
∴∠CO′O=∠DCO
∴△O′CO∽△CDO，
∴

O′O

OC

=

O′C

OD

，
∴

3 2

2

=

2

OD

  
∴OD=

8

3

∴D坐标为（

8

3

，0）；

（3）存在．
抛物线对称轴为x=-

3

2

，
设满足条件的圆的半径为R，点E在对称轴左侧，
则E的坐标为（-

3

2

-R，R）或（-

3

2

-R，-R）
而E点在抛物线y=-

1

2

x2-

3

2

x+2上
∴R=-

1

2

（-

3

2

-R）²-

3

2

（-

3

2

-R）+2，
R₁=

5

6

3

，R₂=-

5

6

3

（不符合题意，应舍去）
或-R=-

1

2

（-

3

2

-R）²-

3

2

（-

3

2

-R）+2
∴R₁=1+

29

2

，R₂=1-

29

2

（不符合题意，应舍去）
∴R=1+

29

2

，
故在以EF为直径的圆，恰好与AB为直径的圆相外切，该圆的半径为R=

5

6

3

或1+

29

2

；

（4）当ABNM为平行四边形时，则AB∥MN，并且AB=MN．
∵AB=5，
∴MN=5，由于对称为x=-

3

2

，
∴点N的横坐标为

7

2

或-

13

2

．
将x=

7

2

代入y=-

1

2

x2-

3

2

x+2，
得y=-

75

8

，
∴N（

7

2

，-

75

8

）．
将x=-

13

2

代入y=-

1

2

x2-

3

2

x+2，
得y=-

75

8

，
∴N（-

13

2

，-

75

8

）．
所以，在抛物线上存在点N，
使得以A、B、N、M四点为顶点的四边形为平行四边形，
此时点N的坐标为（

7

2

，-

75

8

）或（-

13

2

，-

75

8

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法确定抛物线的解析式和平行四边形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．