Question

△ABC中，AB=2，BC=4，CD⊥AB于D．
（1）如图①，AE⊥BC于E，求证：CD=2AE；

（2）如图②，P是AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作PE⊥BC于E，PF⊥AB于F，求证：2PE+PF=CD；

（3）在（2）中，若P为AC的延长线上任意一点，其它条件不变，请你在备用图中画出图形，并探究线段PE、PF、CD之间的数量关系．

Answer 1

分析：（1）分别以AB、BC边为底边，利用△ABC的面积的两种不同表示列式整理即可得证；
（2）连接PB，根据△ABC的面积等于△ABP和△BCP的面积的和，然后列式整理即可得证；
（3）作出图形，连接PB，然后根据△ABP的面积等于△ABC的面积和△PBC的面积的和，列式整理即可得解．

解答：（1）证明：S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

BC•AE，
∵AB=2，BC=4，
∴

1

2

×2×CD=

1

2

×4×AE，
即CD=2AE；

（2）证明：如图②，连接PB，则S_△ABC=S_△ABP+S_△BCP，
即

1

2

AB•CD=

1

2

AB•PF+

1

2

BC•PE，
∵AB=2，BC=4，
∴

1

2

×2×CD=

1

2

×2×PF+

1

2

×4×PE，
即CD=PF+2PE，
故2PE+PF=CD；

（3）解：如图③，连接PB，则S_△ABP=S_△ABC+S_△PBC，
即

1

2

AB•PF=

1

2

AB•CD+

1

2

BC•PE，
∵AB=2，BC=4，
∴

1

2

×2×PF=

1

2

×2×CD+

1

2

×4×PE，
即PF=CD+2PE．

点评：本题综合考查了三角形的知识，把同一个三角形的面积采用不同方法列式表示出来，然后再把已知数据代入进行计算求解，所以（2）（3）两小题作出辅助线把三角形分割成两个三角形是解题的关键，面积法也是解三角形问题常用的方法之一，需熟练掌握．