Question

如图，直线y=-

3

3

x+k 与x轴、y轴分别交于点D、A两点，与双曲线y=

k

x

在第一象限交于B、C两点，且AB•AC=4．
（1）求tan∠ADO的值； 
（2）求k的值．

Answer 1

分析：（1）先用k表示A点与D点坐标，然后根据正切的定义求解；
（2）分别作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，设B点与C点的横坐标为m、n，利用直线与反比例函数有两个交点得到-

3

3

x²+kx-k=0，根据根与系数的关系得mn=

3

k，由tan∠ADO=

3

3

得∠ADO=30°，则∠ABE=∠ACF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AE=

3

3

m，CF=

3

3

n，AB=

2 3

3

m，AC=

2 3

3

n，而AB•AC=4，则

2 3

3

m•

2 3

3

n=4，所以mn=3，然后计算k的值．

解答：解：（1）对于y=-

3

3

x+k，令x=0，则y=k；令y=0，则-

3

3

x+k=0，解得x=

3

k，
∴A点坐标为（0，k），D点坐标为（

3

k，0），
∴tan∠ADO=

OA

OD

=

k

3 k

=

3

3

；
（2）分别作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图，
设B点与C点的横坐标为m、n，
由

y=- 3 3 x+k y= k x

得-

3

3

x²+kx-k=0，
∴mn=

3

k，
∵tan∠ADO=

3

3

，
∴∠ADO=30°，
∴∠ABE=∠ACF=30°，
∴AE=

3

3

m，CF=

3

3

n，
∴AB=2AE=

2 3

3

m，AC=2AF=

2 3

3

n，
∵AB•AC=4，
∴

2 3

3

m•

2 3

3

n=4
∴mn=3，
∴k=

mn

3

=

3

．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了一元二次方程根与系数的关系．