Question

（2013•香洲区二模）如图：已知AB是⊙O的直径，P为AB的延长线上一点．且BP=

1

2

AB，C、D是半圆AB的两个三等分点，连接PD．
（1）PD与⊙O有怎样的位置关系？并证明你的结论；
（2）连接PC，若AB=10cm，求由PC，弧CD、PD所围成的图形的面积．（结果保留π）．

Answer 1

分析：（1）首先连接OD，BD，由BP=

1

2

AB，OB=

1

2

AB，C、D是半圆AB的两个三等分点，易证得BD=OB=BP，继而求得∠ODP=90°，则可证得PD与⊙O相切；
（2）首先连接CO，易得△COD是等边三角形，又由CD∥AB，可得S_△CDP=S_△COD，即可得S_阴影=S_扇形COD．

解答：（1）解：PD与⊙O相切，
理由如下：
连接OD，BD，
∵BP=

1

2

AB，OB=

1

2

AB，
∴BP=OB，
∵C、D是半圆AB的两个三等分点，
∴∠DOB=∠COD=60°，
∵OD=OB，
∴BD=OB=BP，
∴∠ODP=90°，
∴PD与⊙O相切；

（2）解：连接CO，
∵∠COD=60°，CO=OD，
∴CO=OD=CD，
∴∠DOB=∠CDO=60°，
∴CD∥AB，
∴S_△CDP=S_△COD，
∴S_阴影=S_扇形COD=

60×π×52

360

=

25

6

π．

点评：此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．