Question

如图，在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，与轴交于点，将△沿翻折后，点落在点处．

（1）求点、的坐标；

（2）求经过、、三点的抛物线的解析式；

（3）若抛物线的对称轴与交于点，点为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点．

①当四边形为等腰梯形时，求出点的坐标；

②当四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标.

Answer 1

解：（1）如图所示，∵点关于轴的对称点为，与轴交于点，

∴⊥轴于，，

．…………………………1分

∴．

∴，

由题意可知 ， ．

∴．

过点作轴于，轴于，

在中， ,   ．

由矩形得．

∵点在第四象限∴．……………………………2分

   （2）设经过、、三点的抛物线的解析式为.

        依题意得 ………………………3分

        解得 ∴此抛物线的解析式为．………………………4分

（3）∵，

∴点为抛物线的顶点．

∴直线为抛物线的对称轴，交于，

由题意可知 ，，

∴，

∴，

∴，

∴是等边三角形，．

∴．

①当点在上时，四边形为等腰梯形.

∵∥∥，与不平行，∴四边形为梯形.

要使梯形为等腰梯形，只需满足.

∵,∴点在上.

由、求得直线的解析式为.

又∵点在抛物线上，∴.

解得（与点重合，舍）.∴点横坐标为.

由、求得直线的解析式为.

∵点在上，∴ ．∴．………6分

②当点在上时，四边形为平行四边形，此时点坐标为. ……………………8分

综上所述，当时，为等腰梯形；当时，为平行四边形