如图1.在平面直角坐标系中.AB=OB=8.∠ABO=90°.∠yOC=45°.射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动.当射线OC经过点B时停止运动.设平行移动x秒后.射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．(1)求y与x之间的函数关系式,(2)如图2.当x=3秒时.射线OC平行移动到O′C′.与OA相交于G.并已知某函数.y=ax2+bx+c经过G.O.B三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如图2，当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，并已知某函数，y=ax²+bx+c（a≠0，其中a、b、c是常数）经过G，O，B三点，求出a、b、c，并写出这个函数的解析式；
（3）现有一动点P在（2）中的函数图象上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

分析（1）判断出△ABO是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB=45°，然后求出AO⊥CO，再根据平移的性质可得AO⊥C′O′，从而判断出△OO′G是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解；
（2）求出OO′，再根据等腰直角三角形的性质求出点G的坐标，然后设抛物线解析式为y=ax²+bx，再把点B、G的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（3）设点P到x轴的距离为h，利用三角形的面积公式求出h，再分点P在x轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可．

解答解：（1）∵AB=OB，∠ABO=90°，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵∠yOC=45°，
∴∠AOC=（90°-45°）+45°=90°，
∴AO⊥CO，
∵C′O′是CO平移得到，
∴AO⊥C′O′，
∴△OO′G是等腰直角三角形，
∵射线OC的速度是每秒2个单位长度，
∴OO′=2x，
∴其以OO′为底边的高为x，
∴y=$\frac{1}{2}$×（2x）•x=x²；

（2）当x=3秒时，OO′=2×3=6，
∵$\frac{1}{2}$×6=3，
∴点G的坐标为（3，3），
设抛物线解析式为y=ax²+bx，
则$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=3}\\{64a+8b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{5}}\\{b=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
∴a=-$\frac{1}{5}$，b=$\frac{8}{5}$，c=0；抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x；

（3）设点P到x轴的距离为h，
则S_△POB=$\frac{1}{2}$×8h=8，
解得h=2，
当点P在x轴上方时，-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x=2，
整理得，x²-8x+10=0，
解得x₁=4-$\sqrt{6}$，x₂=4+$\sqrt{6}$，
此时，点P的坐标为（4-$\sqrt{6}$，2）或（4+$\sqrt{6}$，2）；
当点P在x轴下方时，-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x=-2，
整理得，x²-8x-10=0，
解得x₁=4-$\sqrt{26}$，x₂=4+$\sqrt{26}$，
此时，点P的坐标为（4-$\sqrt{26}$，-2）或（4+$\sqrt{26}$，-2），
综上所述，点P的坐标为（4-$\sqrt{6}$，2）或（4+$\sqrt{6}$，2）或（4-$\sqrt{26}$，-2）或（4+$\sqrt{26}$，-2）时，△POB的面积S=8．