Question

在平面直角坐标系中，已知点A（6，3），B（0，3）
（1）画一个圆M，使它经过点A、B且与y轴相切（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若圆M绕原点O顺时针旋转，旋转角为α（0＜α＜180°），当圆M与x轴相切时，求圆心M走过的路程．（结果保留π）

Answer 1

解：（1）如图所示：
；

（2）如图所示：
∵点A（6，3），B（0，3），
∴tan∠MOF==，
∴∠MOF=60°，
∵圆M绕原点O顺时针旋转，旋转角为α（0＜α＜180°），当圆M与x轴相切时当圆M与x轴相切，且在第1象限时，
由题意可得出：M″E=3，OM″=OM=6，
∴sin∠EOM″==，
∴∠EOM″=30°，
∴旋转角为：∠MOM″=60°-30°=30°，
∴圆心M走过的路程为：=π，
同理可得出：当圆M与x轴相切时当圆M与x轴相切，且在第4象限时，
∴∠EOM′=30°，
∴旋转角为：∠MOM′=60°+30°=90°，
∴圆心M走过的路程为：=3π．
分析：（1）作出AB的垂直平分线，与AB交于M点，再以M为圆心，BM长为半径画圆即可；
（2）根据已知得出旋转后的图形进而得出旋转角，利用弧长公式求出即可．
点评：此题主要考查了复杂作图以及旋转的性质和锐角三角函数的应用以及弧长公式应用，根据已知利用分类讨论得出是解题关键．