Question

已知：如图，△ABC中，三边上的高线分别是AX，BY，CZ，X，Y，Z为垂足，求证：AX，BY，CZ交于一点．

Answer 1

分析：分析：要证AX，BY，CZ相交于一点，可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点来证，只须构造出一个新三角形A′B′C′，使AX，BY，CZ恰好是△A′B′C′的三边上的垂直平分线，则AX，BY，CZ必然相交于一点．

解答：证明：分别过A，B，C作对边的平行线，则得到△A′B′C′．
∵四边形A′BAC、四边形AC′BC、四边形ABCB′均为平行四边形，∴AC′=BC=AB′．
∵AX⊥BC于X，且BC∥B′C′，
∴AX⊥B′C′于A，那么AX即为B′C′之垂直平分线．
同理，BY，CZ分别为A′C′，A′B′的垂直平分线，
∴AX，BY，CZ相交于一点H．

点评：此题运用“三角形三边垂直平分线交于一点”，巧妙构造新的三角形求解，很有新意．