Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M，给出如下定义：若⊙M上存在两个点A，B，使AB=2PM，则称点P为⊙M的“美好点”．

（1）当⊙M半径为2，点M和点O重合时．

①点P1(﹣2，0)，P2(1，1)，P3(2，2)中，⊙O的“美好点”是　　　　；

②若直线y=2x+b上存在点P为⊙O的“美好点”，求b的取值范围；

（2）点M为直线y=4上一动点，以2为半径作⊙M，点P为直线y=x上一动点，点P为⊙M的“美好点”，求点M的横坐标m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①P1和P2；②；（2）满足条件的m的取值范围为2≤m≤6．

【解析】

（1）①根据⊙M的“美好点”即可判断．

②求出直线y＝2x＋b与⊙M相切时，b的值即可解决问题；

（2）当直线y＝4与⊙M相切时，求出点M的坐标，有两个值，由此即可解决问题．

解：（1）①如图1中，

∵OP1＝2＝r，OP2＝＜r，OP3＝2＜r，

根据⊙M的“美好点”的定义可知，P1，P2是⊙M的“美好点”．

故答案为：P1和P2．

②当直线y＝2x＋b与⊙O相切时，设切点为T，该直线交x轴于K，交y轴于E．

由题意E(0，b)，K(－，0)，

∴OE＝b，OK＝，EK＝b．

∵sin∠TKO＝，

∴，

∴b＝2，

根据对称性可知：当直线与⊙O在下方相切时，OF＝OE＝2，

∴b＝－2，

∴b的取值范围为：－2≤b≤2．

（2）如图2中，

当直线y＝4与⊙M相切时，切点分别为E或E'，连接ME，M'E'．

∵EM＝E'M'＝2，

∴M'(2，2)，m(6，6)，

∴满足条件的m的取值范围为2≤m≤6．