题目内容
线段AB、CD交于点O，∠ACE=∠AOD，连接ED、EB、CB、DB．
（1）如图1，当∠ACE=∠AOD=90°，AC=CE，AB=CD时，
①求证：△ABC≌△CDE；
②顺次连接EC、EB、BD、CD的中点M、N、P、Q，得到四边形MNPQ，请判断四边形MNPQ的形状，并说明理由．（2）如图2，当∠ACE=∠AOD≠90°，但扔满足AC=CE，AB=CD时，重复（1）中②的操作，请你直接写出四边形MNPQ的形状．
（3）如图3，当∠ACE=∠AOD=90°.
=
≠1时，重复（1）中②的操作，请你直接写出四边形MNPQ的形状．
（1）如图1，当∠ACE=∠AOD=90°，AC=CE，AB=CD时，
①求证：△ABC≌△CDE；
②顺次连接EC、EB、BD、CD的中点M、N、P、Q，得到四边形MNPQ，请判断四边形MNPQ的形状，并说明理由．（2）如图2，当∠ACE=∠AOD≠90°，但扔满足AC=CE，AB=CD时，重复（1）中②的操作，请你直接写出四边形MNPQ的形状．
（3）如图3，当∠ACE=∠AOD=90°.
| AC |
| CE |
| AB |
| CD |
分析：（1）①求出∠BAC=∠DCE，根据SAS证出△ABC≌△CDE即可．
②延长DE交BC于F，交AB于Z，交ON于O′，根据全等三角形的性质得出BC=DE，∠CBA=∠CDE，求出∠BFD=90°，根据三角形的中位线得出MN=
BC，MN∥BC，PQ=
BC，PQ∥BC，MQ=
DE，MQ∥DE，推出PQ=MN，PQ∥MN，推出MN=MQ，∠QMN=∠DMN=∠BFD=90°，根据正方形的判定推出即可．
（2）得出四边形MNPQ是平行四边形，推出MN=MQ，即可得出答案．
（3）四边形MNPQ是矩形，求出四边形MNPQ是平行四边形，证△ABC∽△CDE推出∠CBA=∠CDE，推出∠BFD=90°即可．
②延长DE交BC于F，交AB于Z，交ON于O′，根据全等三角形的性质得出BC=DE，∠CBA=∠CDE，求出∠BFD=90°，根据三角形的中位线得出MN=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）得出四边形MNPQ是平行四边形，推出MN=MQ，即可得出答案．
（3）四边形MNPQ是矩形，求出四边形MNPQ是平行四边形，证△ABC∽△CDE推出∠CBA=∠CDE，推出∠BFD=90°即可．
解答：
（1）①证明：如图1，
∵∠ACE=∠AOD=90°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BAC+∠ACD，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS）．
②解：四边形MNPQ的形状是正方形，如图2，
理由是：延长DE交BC于F，交AB于Z，交ON于O′，
∵△ABC≌△CDE，
∴BC=DE，∠CBA=∠CDE，
∵∠AOD=∠CDE+∠AZD=90°，∠AZD=∠BZF，
∴∠ABC+∠BZF=90°，
∴∠BFD=90°，
∵M为CE中点，N为BE中点，
∴MN=
BC，MN∥BC，
同理PQ=
BC，PQ∥BC，MQ=
DE，MQ∥DE，
∴PQ=MN，PQ∥MN，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∵DE=BC，
∴MN=MQ，
∴平行四边形MNPQ是菱形．
（3）四边形MNPQ是矩形，如图3，
理由是：∵M为CE中点，N为BE中点，
∴MN=
BC，MN∥BC，
同理PQ=
BC，PQ∥BC，MQ=
DE，MQ∥DE，
∴PQ=MN，PQ∥MN，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∵∠ACE=∠AOD=90°.
=
≠1，
∴△ABC∽△CDE，
∴∠CBA=∠CDE，
∵∠AOD=∠CDE+∠AZD=90°，∠AZD=∠BZF，
∴∠ABC+∠BZF=90°，
∴∠BFD=90°，
∵MN∥BC，MQ∥DE，
∴∠QMN=∠DMN=∠BFD=90°，
∴四边形MNPQ是矩形．
（1）①证明：如图1，
∵∠ACE=∠AOD=90°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BAC+∠ACD，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
|
∴△ABC≌△CDE（SAS）．
②解：四边形MNPQ的形状是正方形，如图2，
理由是：延长DE交BC于F，交AB于Z，交ON于O′，
∵△ABC≌△CDE，
∴BC=DE，∠CBA=∠CDE，
∵∠AOD=∠CDE+∠AZD=90°，∠AZD=∠BZF，
∴∠ABC+∠BZF=90°，
∴∠BFD=90°，
∵M为CE中点，N为BE中点，
∴MN=
| 1 |
| 2 |
同理PQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴PQ=MN，PQ∥MN，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∵DE=BC，
∴MN=MQ，
∴平行四边形MNPQ是菱形．
（3）四边形MNPQ是矩形，如图3，
理由是：∵M为CE中点，N为BE中点，
∴MN=
| 1 |
| 2 |
同理PQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴PQ=MN，PQ∥MN，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∵∠ACE=∠AOD=90°.
| AC |
| CE |
| AB |
| CD |
∴△ABC∽△CDE，
∴∠CBA=∠CDE，
∵∠AOD=∠CDE+∠AZD=90°，∠AZD=∠BZF，
∴∠ABC+∠BZF=90°，
∴∠BFD=90°，
∵MN∥BC，MQ∥DE，
∴∠QMN=∠DMN=∠BFD=90°，
∴四边形MNPQ是矩形．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线的性质，平行线的性质和判定，正方形、平行四边形、菱形、矩形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
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