Question

如图，点A是x轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点，连接AC、BC、CD，设点A的横坐标为t．
（I）线段AB与AC的数量关系是

 

，位置关系是

 

．
（II）当t=2时，求CF的长；
（III）当t为何值时，点C落在线段BD上？求出此时点C的坐标；
（IV）设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（I）根据“线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C”推知AB与AC的关系；
（II）由Rt△ACF∽Rt△BAO，得CF=

1

2

OA=

1

2

t，由此求出CF的值；
（III）由Rt△ACF∽Rt△BAO，可以求得AF的长度；若点C落在线段BD上，则有△DCF∽△DBO，根据相似比例式列方程求出t的值；
（IV）有三种情况，需要分类讨论：当0＜t≤8时，如题图1所示；当t＞8时，如答图1所示；t=8时．

解答：解：（I）∵如图，将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，
∵AB=2AC，∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
故答案是：AB=2AC，AB⊥AC；

（II）由题意，易证Rt△ACF∽Rt△BAO，
∴

CF

OA

=

AC

AB

．
∵AB=2AM=2AC，
∴CF=

1

2

OA=

1

2

t．
当t=2时，CF=1；

（III）由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，
∴

AF

OB

=

AC

AB

，
∴AF=

1

2

OB=2，∴FD=AF=2，．
∵点C落在线段BD上，
∴△DCF∽△DBO，
∴

CF

OB

=

DF

OD

，即

1 2 t

4

=

2

t+4

，
整理 得t²+4t-16=0
解得 t=2

5

-2或t=-2

5

-2（不合题意，舍去）
∴当t=2

5

-2时，点C落在线段BD上．
此时，CF=

1

2

t=

5

-1，
OF=t+2=2

5

，
∴点C的坐标为（2

5

，-1+

5

）；

（IV）①当0＜t≤8时，如题图1所示：
S=

1

2

BE•CE=

1

2

（t+2）•（4-

1

2

t）=-

1

4

t²+

3

2

t+4；
②当t＞8时，如答图1所示：CE=CF-EF=

1

2

t-4

S=

1

2

BE•CE=

1

2

（t+2）•（

1

2

t-4）=

1

4

t²-

3

2

t-4；
③如答图2，当点C与点E重合时，CF=OB=4，可得t=OA=8，此时S=0．

点评：本题考查了坐标平面内几何图形的多种性质，是一道难度较大的中考压轴题．涉及到的知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换（旋转、平移、对称）等，非常全面；分类讨论的思想贯穿第（2）问．本题涉及考点众多，内涵丰富，对考生的数学综合能力要求较高．