Question

如图，已知BD是以O为圆心，AB长为直径的半圆的弦，AC⊥AB，BD∥OC，直线CD交AB的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2AC，求

BD

OC

的值．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）首先证得△CAO≌△CDO，然后得到∠A=∠CDO=90°，从而利用直切线的判定定理判定直线CD是⊙O的切线；
（2）由△CAO≌△CDO，得到AC=CD，根据DE=2AC，得到DE=2CD，然后利用△EDB∽△ECO，从而得到

BD

OC

=

DE

CE

=

2

3

；

解答：解：（1）证明：∵BD∥OC，
∴∠DBO=∠COA，∠ODB=∠COD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠COA=∠COD，
在△CAO和△CDO中，

AO=DO ∠COA=∠COD OC=OC

∴△CAO≌△CDO（SAS），
∴∠A=∠CDO，
∵AC⊥AB，
∴OD⊥CD，
∴直线CD是⊙O的切线；

（2）∵△CAO≌△CDO，
∴AC=CD，
∵DE=2AC，
∴DE=2CD，
∵BD∥OC，
∴△EDB∽△ECO，
∴

BD

OC

=

DE

CE

=

2

3

．

点评：本题考查了切线的判定，解题的关键是了解切线的判定定理，并利用切线的判定定理证明结论．