Question

如图，在?OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60°，0C=4cm．OA=8cm．动点P从点0出发，以1cm/s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以acm/s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：点C的坐标是（______，______

Answer 1

【答案】分析：（1）首先过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥OA于E，连接OB，由∠AOC=60°，0C=4cm，利用三角函数求得OD与CD的长，即可得点C的坐标；又由四边形OABC是平行四边形，可得BE与AB的长，继而求得AE的长，然后由勾股定理，即可求得对角线OB的长度；
（2）分别从当0＜t≤4时，当4≤t≤8时与当8≤t≤12时去分析求解即可求得答案；
（3）分别从当△OPM∽△OAB与当△OPM∽△OBA时去分析，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
解答： 解：（1）过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥OA于E，连接OB，
∵∠AOC=60°，0C=4cm，
∴OD=0C•cos60°=4×=2（cm），CD=OC•sin60°=4×=2（cm），
∴C（2，2），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC=4cm，BC∥OA，
∴BE=CD=2cm，
∴AE==2（cm），
∵OA=8cm，
∴OE=OA+AE=10（cm），
∴OB==4cm．…（4分）

（2）①当0＜t≤4时，
过点Q作QD⊥x轴于点D（如图1），则QD=t．
∴S=OP•QD=t²．…（5分）

②当4≤t≤8时，
作QE⊥x轴于点E（如图2），则QE=2．
∴S=OP•QE=t． …（6分）

③当8≤t＜12时，
解法一：延长QP交x轴于点F，过点P作PH⊥AF于点H（如图3）．
∴△PBQ与△PAF均为等边三角形，
∴OF=OA+AP=t，AP=t-8．
∴PH=（t-8）．…（7分）
∴S=S_△OQF-S_△OPF
=t•2-t•（t-8）
=-t²+3t． …（8分）
当t=8时，S最大． …（9分）

解法二：过点P作PH⊥x轴于点H（如图3）．
∴△PBQ为等边三角形．
∵AP=t-8．
∴PH=（t-8）． …（7分）
∴S=S_梯形OABQ-S_△PBQ-S_△OAP=（20-t）-（12-t）²-2（t-8）．
=-t²+3t． …（8分）
当t=8时，S最大． …（9分）

（3）①当△OPM∽△OAB时（如图4），则PQ∥AB．
∴CQ=OP．
∴at-4=t，a=1+．…（10分）
t的取值范围是0＜t＜8． …（11分）

②当△OPM∽△OBA时（如图5），
则，
∴，
∴OM=． …（12分）
又∵QB∥OP，
∴△BQM∽△OPM，
∴，
∴，
整理得t-at=2，
∴a=1-．…（13分）
t的取值范围是6≤t≤8．
综上所述：a=1+（0＜t＜8）或a=1-（6≤t≤8）． …（14分）
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理三角函数、二次函数的最值以及三角形面积问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用．