题目内容
如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B（-1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）（1）求点A、E的坐标；
（2）若y=-
| ||
| 2 |
（3）连结PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）连结AD，不难求得A（2，3
），则OE=
AD，得E（0，
）．
（2）因为抛物线y=-
x2+bx+c过点A、E，由待定系数法得：c=
，b=2
，求出抛物线的解析式；
（3）先作点D关于AC的对称点D′，连结BD′交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，即△PBD的周长L取最小值．不难求得∠D′DC=30°，DF=
，DD'=3
求得点D′的坐标为（
，
），进而求出直线BD′的解析式，直线AC的解析式，即可求直线BD′与AC的交点可得点P的坐标，再利用勾股定理得出BD′的长，即可得出答案．
| 3 |
| 1 |
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| 3 |
（2）因为抛物线y=-
| ||
| 2 |
| 3 |
| 3 |
（3）先作点D关于AC的对称点D′，连结BD′交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，即△PBD的周长L取最小值．不难求得∠D′DC=30°，DF=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
求得点D′的坐标为（
| 13 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
解答：
解：（1）连结AD，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，点B（-1，0），
∴AB=6，BD=3，故AD=3
，
∴A（2，3
），
∴OE=
AD，得E（0，
）；
（2）因为抛物线y=-
x2+bx+c过点A、E，
∴
解得：
，
故抛物线的解析式为：y=-
x2+2
x+
；
（3）先作点D关于AC的对称点D'，
连结BD'交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，
即△PBD的周长L取最小值．可得∠D'DC=30°，DF=
，则DD'=3
，
∴D′G=
，GO=2+DG=2+
=
，
得点D'的坐标为（
，
），
设直线BD'的解析式为：y=dx+e，
则
，
解得：
，
故直线BD'的解析式为：y=
x+
，
同理可得：直线AC的解析式为：y=-
x+5
，
由题意可得：
，
解得：
，
故直线BD'与AC的交点可得点P的坐标（4，
）．
此时BD'=
=3
，
所以△PBD的最小周长L为3
+3，
把点P的坐标（4，
）代入y=-
x2+2
x+
成立，
所以此时点P在抛物线上．
解：（1）连结AD，∵△ABC是边长为6的等边三角形，点B（-1，0），
∴AB=6，BD=3，故AD=3
| 3 |
∴A（2，3
| 3 |
∴OE=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
（2）因为抛物线y=-
| ||
| 2 |
∴
|
解得：
|
故抛物线的解析式为：y=-
| ||
| 2 |
| 3 |
| 3 |
（3）先作点D关于AC的对称点D'，
连结BD'交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，
即△PBD的周长L取最小值．可得∠D'DC=30°，DF=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
∴D′G=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
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| 2 |
得点D'的坐标为（
| 13 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
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设直线BD'的解析式为：y=dx+e，
则
|
解得：
|
故直线BD'的解析式为：y=
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
同理可得：直线AC的解析式为：y=-
| 3 |
| 3 |
由题意可得：
|
解得：
|
故直线BD'与AC的交点可得点P的坐标（4，
| 3 |
此时BD'=
| BG2+D′G2 |
| 7 |
所以△PBD的最小周长L为3
| 7 |
把点P的坐标（4，
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 3 |
所以此时点P在抛物线上．
点评：此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式以及待定系数法求一次函数解析式等知识，利用数形结合以及利用轴对称求出最值是解题关键．
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