Question

【题目】已知：为的直径，弦于点，连接，点是上一点，连接并延长交于点，交于点．

（1）如图1，连接．求证：；

（2）如图2，连接，过点作交于点，交延长线于点求证：．

（3）如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由垂径定理和圆周角定理进行等量转换即可得证；

（2）由圆周角定理和全等三角形的性质进行等量转换，即可得解；

（3）利用圆周角定理和三角函数进行等量转换，即可得解.

（1）连接，如图所示

∵，

∴，

∴，

∵弧弧，

∴，

∵，

∴．

（2）连接，，如图所示

∵OG为半径，

∴，

∴ ，

∵弧弧，

∴，

∴，

∴，

∵OA=OG=OC=OB

∴∠AOG=∠BOC

∴

∴，

∴，

即．

（3）∵弧CD=2弧CB

∴

∴，

∵，CF=FD

∴，

∴FD⊥MF

∴，

∴

设，

∵

∴，，

∴，

，，

∵∠CAB=∠DAB

∴

作，设，，，

∵，

∴，，，

连接，，，，

∴，

，

，，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴．