Question

如图，已知点A的坐标为（，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若以点C为圆心，CA的k倍的长为半径作圆，该圆与x轴相切，则k的值为________．

Answer 1

分析：先根据勾股定理求出OA的长，再利用待定系数法求出直线OA的解析式，故可得出C点坐标，过点C作CE⊥x轴于点E，则△OAB∽△OCE，再由相似三角形的对应边成比例即可求出OC的长，进而得出CA的长，故可得出结论．
解答：解：∵点A的坐标为（，3），AB⊥x轴，垂足为B，
∴OA===2，
设直线OA的解析式为y=kx（k≠0），
∵点A的坐标为（，3），
∴k=3，解得k=，
∴直线OA的解析式为y=x（k≠0），
∴，解得，
∴C（1，），
过点C作CE⊥x轴于点E，
∵AB⊥x轴，
∴△OAB∽△OCE，
∴=，即=，解得OC=2，
∴CA=OA-OC=2-2=2（1-），
∵以点C为圆心，CA的k倍的长为半径作圆，该圆与x轴相切，
∴kCA=CE，即2（1-）=，解得k=．
故答案为：．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．