数学活动-旋转变换(1)如图①.在△ABC中.∠ABC=130°.将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C.连接BB′.求∠A′B′B的大小,(2)如图②.在△ABC中.∠ABC=150°.AB=3.BC=5.将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C.连接BB′.以A′为圆心.A′B′长为半径作圆．(Ⅰ)猜想:直线BB′与⊙A′的位置关系.并证明你的结论,(Ⅱ)连接A′B.求线段A′B的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．数学活动-旋转变换
（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心、A′B′长为半径作圆．
（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；
（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心、A′B′长为半径作圆，问：α与β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由．

分析（1）根据∠A′B′B=∠A′B′C-∠BB′C，只要求出∠A′B′B即可．
（2）（Ⅰ）结论：直线BB′与⊙A′相切．只要证明∠A′B′B=90°即可．
（Ⅱ）在Rt△ABB′中，利用勾股定理计算即可．
（3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′与⊙A′相切．只要证明∠A′B′B=90°即可解决问题．

解答解；（1）如图①中，∵△A′B′C是由△ABC旋转得到，
∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，
∵∠BCB′=50°，
∴∠CBB′=∠CB′B=65°，
∴∠A′B′B=∠A′B′C-∠BB′C=65°．
（2）（Ⅰ）结论：直线BB′与⊙A′相切．
理由：如图②中，∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，
∵∠BCB′=60°，
∴∠CBB′=∠CB′B=60°，
∴∠A′B′B=∠A′B′C-∠BB′C=90°．
∴AB′⊥BB′，
∴直线BB′与⊙A′相切．
（Ⅱ）∵在Rt△ABB′中，
∵∠AB′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，
∴A′B=$\sqrt{AB{'}^{2}+B'{B}^{2}}$=$\sqrt{34}$．
（3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′与⊙A′相切．
理由：∵∠A′B′C=∠ABC=α，CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，
∵∠BCB′=2β，
∴∠CBB′=∠CB′B=$\frac{180°-2β}{2}$=90°-β，
∴∠A′B′B=∠A′B′C-∠BB′C=α-90°+β=180°-90°=90°．
∴AB′⊥BB′，
∴直线BB′与⊙A′相切．