Question

【题目】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O．

（1）尺规作图：以OA、OD为边，作矩形OAED(不要求写作法，但保留作图痕迹)；

（2）若在菱形ABCD中，∠BAD=120 °，AD=2，求所作矩形OAED的周长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据矩形的性质，对边相等，分别以点A、D为圆心，以AO、DO为半径画弧相交即可作出图形；

（2）利用菱形的性质，求出∠AOD=90°，∠OAD=60°，根据直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出AO，由勾股定理可求出OD，计算即可得出结果．

（1）根据矩形的性质可知，四个角都是90°，对边相等，以点D为圆心，以AO长为半径画弧，以点A为圆心，以OD长为半径画弧，相交与点E，连接AE，DE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，可得出四边形AODE是有一个角是90°的平行四边形，

∴OAED是矩形，如图即为所求；

（2）在菱形ABCD中，∠BAD=120 °，AD=2，

∴ AC⊥BD， AC平分∠BAD，

∴∠AOD=90 °，∠OAD=∠BAD=60 °，

∴∠ODA=90 °-∠OAD=30 °，

∴OA=AD=1，

在Rt△OAD中，，

∴矩形OAED的周长为，

故答案为：．