Question

9．已知，在四边形ABCD中，∠ACB+∠ADB=180°，连接AB、CD．△ABC为等边三角形．
（1）如图1，求证：∠ADC=∠BDC；
（2）如图2，过点A作AH⊥CD，垂足为H，延长AH交BC于点E，连接BH并延长交AC于F，若AF=CE，请你探究线段CD与AD的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作CN⊥DB于N，CM⊥AD于M，只要证明CN=CM，即可解决问题．
（2）如图2中，延长HF到M，使得HA=HM，连接AM．由△ACE≌△BAF，推出∠AHF=60°，推出△AHM是等边三角形，△HCM是Rt△，设DH=a，求出AD，CD即可解决问题．

解答 证明：（1）如图1中，作CN⊥DB于N，CM⊥AD于M，

∵△ABC是等边三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°，∵∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠ADB=120°，
∵∠N=∠CMD=90°，
∴∠MCN=∠ACB=60°，
∴∠BCN=∠ACM，
在△CNB和△CMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠N=∠AMC}\\{∠BCN=∠ACM}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△CNB≌△CMA，
∴CN=CM，∵CN⊥DB，CM⊥DA，
∴∠ADC=∠BDC

（2）结论：CD：AD=5：4
理由：如图2中，延长HF到M，使得HA=HM，连接AM．

在△ACE和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACE=∠BAF}\\{CE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BAF，
∴∠EAC=∠ABF，
∴∠AHF=∠ABF+∠BAE=∠EAC+∠BAE=60°，
∴△AHM是等边三角形，
易证△AHB≌△AMC，
∴∠ABH=∠ACM，∵∠AFB=∠MFC，
∴∠CMF=∠BAF=60°，
∵AH⊥CD，
∴∠AHD=∠AHC=90°，
∴∠CHM=30°，∠HCM=90°，
设DH=a，则AD=2a，AH=HM=$\sqrt{3}$a，CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，CH=$\sqrt{3}$CM=$\frac{3}{2}$a，
∴CD=DH+HC=$\frac{5}{2}$a，
∴CD：AD=$\frac{5}{2}a：2a$=5：4．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质．直角三角形30度角性质、勾股定理，角平分线判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．