Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．

（1）求EG的长；    （2）求证：CF=AB+AF．

 

Answer 1

（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，

∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC==2，∵CE⊥BE，点G为BC的中点，∴EG=BC=．

答：EG的长是．……………………………4分

（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，

∵BD⊥CD，BE⊥CE，

∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，

∵∠EFB=∠DFC，

∴∠EBF=∠DCF，

∵DB=CD，BA=CH，

∴△ABD≌△HCD，……………………………6分

∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=45°，

∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC﹣∠HDC=45°，

∴∠ADB=∠HDB，……………………………8分

∵AD=HD，DF=DF，

∴△ADF≌△HDF，

∴AF=HF，

∴CF=CH+HF=AB+AF，

∴CF=AB+AF．……………………………10分