Question

19．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2CD，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论①∠DCF=∠ECF；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S_△BEC＜2S_△CEF．中一定成立的是②③④．（请填序号）

Answer 1

分析 如图延长EF交CD的延长线于H．作EN∥BC交CD于N，FK∥AB交BC于K．利用平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题．

解答 解：如图延长EF交CD的延长线于H．作EN∥BC交CD于N，FK∥AB交BC于K．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CH，
∴∠A=∠FDH，
在△AFE和△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FDH}\\{∠AFE=∠HFD}\\{AF=DF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DFH，
∴EF=FH，
∵CE⊥AB，AB∥CH，
∴CE⊥CD，
∴∠ECH=90°，
∴CF=EF=FH，故②正确，
∵DF=CD=AF，
∴∠DFC=∠DCF=∠FCB，
∵∠FCB＞∠ECF，
∴∠DCF＞∠ECF，故①错误，
易证四边形DFKC是菱形，
∴∠DFC=∠KFC，
∵AE∥EK，
∴∠AEF=∠EFK，
∵FE=FC，FK⊥EC，
∴∠EFK=∠KFC，
∴∠DFE=3∠AEF，故③正确，
∵四边形EBCN是平行四边形，
∴S_△BEC=S_△ENC，
∵S_△EHC=2S_△EFC，S_△EHC＞S_△ENC，
∴S_△BEC＜2S_△CEF，故④正确，
故正确的有②③④．
故答案为②③④．

点评 本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．