Question

【题目】感知：如图①，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，若AE=CD，易知△ACE≌△CBD．

探究：若图①中的点D、E分别在边AC、BA的延长线上时，如图②，△ACE与△CBD是否仍然全等？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．

应用：若图②中的等边三角形ABC为等腰三角形，且AC=BC，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D、E分别在AC、OA的延长线上，如图③，若AE=CD，∠ACB=α，∠ADB=β，则∠ACE的大小为 （用含α和β的代数式表示）．

Answer 1

【答案】感知：证明见解析；探究：证明见解析；应用：α-β．

【解析】

试题分析：感知：由△ABC是等边三角形，可得AC=CB，∠ACE=∠B=60°，又由BD=CE，即可证得△ACE≌△CBD；

探究：根据△ABC是等边三角形，得到AC=CB，∠A=∠ACB=60°，由SAS证明△ACE≌△CBD．

应用：证明△ACE≌△CBD，得到∠AEC=∠CDB=β，根据外角的性质得到∠CAB=∠ACE+∠AEC，即可解答．

试题解析：感知：∵△ABC是等边三角形，

∴AC=CB，∠CAE=∠B=60°，

在△ACE和△CBD中，

∴△ACE≌△CBD（SAS）．

探究：△ACE与△CBD是否仍然全等，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=CB，∠A=∠ACB=60°，

∴∠EAC=∠DCB，

在△ACE和△CBD中，

∴△ACE≌△CBD．

应用：∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，

∴CO=AO，

∴∠ACB=∠CAO=α，

∵∠ACB+∠BCD=180°，∠EAC+∠CAO=180°，

∴∠EAC=∠DCB，

∵△ABC为等边三角形，

∴AC=BC，

在△EAC和△DCB中，

∴△EAC≌△DCB，

∴∠AEC=∠CDB=β，

∵∠CAB=∠ACE+∠AEC，

∴∠ACE=∠CAB-∠AEC=α-β．