Question

【题目】直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于A、B两点，⊙E经过原点O及A、B两点，C是⊙E上一点，连接BC交OA于点D，∠COD=∠CBO．

（1）求A、B、C三点坐标；

（2）求经过O、C、A三点的抛物线解析式；

（3）直线AB上是否存在点P，使得△COP的周长最小？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点A（3，0），点B（0，），点C（，）；（2）y=x2﹣x；（3）点P的坐标为（，）．

【解析】分析：（1）由直线y=-x+分别与x轴、y轴交于A、B两点，即可求得点A与点B的坐标，然后连接EC，交x轴于点H，由∠COD=∠CBO，根据垂径定理的即可求得OH与AH的长，由勾股定理，可求得AB的长，EH的长，继而求得点C的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得经过O、C、A三点的抛物线解析式；
（3）由OC已知，可得当OP+CP最小时，△COP的周长最小；过点O作OF⊥AB于点F，并延长交⊙O于点K，连接CK交直线AB于点P，此点即为所求；易证得CK是直径，则可得点P与点E重合，继而求得P点坐标．

详解：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于A、B两点，

∴当x=0时，y=，当y=0时，x=3，

∴点A（3，0），点B（0，）

∴AB==2，

∴AE=BE=AB=，

如图1，连接EC，交x轴于点H，

∵∠COD=∠CBO，

∴，

∴EC⊥OA，OC=AC，

∴OH=AH=OA=，

在Rt△AEH中，EH==，

∴CH=EC﹣EH=，

∴点C的坐标为（，﹣）；

（2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为y=ax（x﹣3），

∵点C的坐标为（，﹣）；

∴﹣=a××（﹣3），

解得：a=，

∴经过O、C、A三点的抛物线的解析式为：y=x2﹣x；

（3）存在．

∵OC=，

∴当OP+CP最小时，△COP的周长最小，

如图2，过点O作OF⊥AB于点F，并延长交⊙O于点K，连接CK交直线AB于点P，此点P即为所求；

∵∠OAB=30°，

∴∠AOF=60°，

∵∠COD=30°，

∴∠COK=90°，

∴CK是直径，

∵点P在直线AB上，

∴点P与点E重合；

∵点E的横坐标为：，

∴y=﹣×+=，

∴点P的坐标为（，）．