Question

【题目】已知如图，是圆直径，是圆的切线，切点为，平行于弦，，的延长线交于点，若，且，的长是关于的方程的两个根

证明：是圆的切线；

求线段的长；

求的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；(2)；（3）．

【解析】

（1）如图由BC是直径，BE是的切线，得到∠EBO=90°,根据平行线和等腰三角形的性质，得到∠1=∠4，通过全等三角形证得．
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系，求得AD的长，由切割线定理求出AB的长，得到圆的直径，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理求出BE的长，
（3）则中，即可求得∠AEO的正切值，由于∠ADC=∠AEO，由此可求出∠ADC的正切值．

解：证明：如图，

∵是直径，是的切线，

∴，

∵，

∴，，

∵，

∴，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，

∴，

∴是的切线；

∵，的长是关于的方程的两个根，，

∴，

由切割线定理得：，

∴，

由证得，

∴，

∴，

∴；

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴．