Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求证：直线BE是⊙D的切线；

（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：

二次函数综合题．

分析：

（1）根据题意易得点A、B的坐标，然后把点A、B、E的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于a、b、c的方程组，利用三元一次方程组来求得系数的值；

（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，构建相似三角形△EGD∽△ECB，根据它的对应边成比例得到=，由此求得DG=1（圆的半径是1），则易证得结论；

（3）利用待定系数法求得直线BE为：y=x+．则易求P（1，）．然后由相似三角形△MNC∽△BEC的对应边成比例，线段间的和差关系得到CN=t，DN=t﹣1．所以

S=S_△PND+S_梯形PDCM﹣S_△MNC=﹣+t（0＜t＜2）．由抛物线的性质可以求得S的最值．

解答：

解：（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（﹣，0），

则，

解得，，

∴该二次函数的解析式为：y=﹣x²+x+2；

（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G．

由题意，得

ED=+1=，EC=2+=，BC=2，

∴BE==．

∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，

∴△EGD∽△ECB，

∴=，

∴DG=1．

∵⊙D的半径是1，且DG⊥BE，

∴BE是⊙D的切线；

（3）由题意，得

E（﹣，0），B（2，2）．

设直线BE为y=kx+h（k≠0）．则

，

解得，，

∴直线BE为：y=x+．

∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，

∴点P的纵坐标y=，即P（1，）．

∵MN∥BE，

∴∠MNC=∠BEC．

∵∠C=∠C=90°，

∴△MNC∽△BEC，

∴=，

∴=，则CN=t，

∴DN=t﹣1，

∴S_△PND=DN•PD=（t﹣1）•=t﹣．

S_△MNC=CN•CM=×t•t=t²．

S_梯形PDCM=（PD+CM）•CD=•（+t）•1=+t．

∵S=S_△PND+S_梯形PDCM﹣S_△MNC=﹣+t（0＜t＜2）．

∵抛物线S=﹣+t（0＜t＜2）的开口方向向下，

∴S存在最大值．当t=1时，S_最大=．

点评：

本题考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质以及二次函数最值的求法．注意配方法在（3）题中的应用．