Question

如图，已知边长为2的正三角形ABC沿直线m滚动，当△ABC滚动一周时，到△DEF位置．设△ABC滚动240°时，点C的位置为C₁，△ABC滚动480°时，点A的位置为点A₁．根据三角函数正切的两角和公式，∠CAC₁+∠CAA₁的度数是________°．

Answer 1

30
分析：过点C₁作C₁H⊥AF，利用锐角三角函数的定义得出C₁H的值及MH的值，再利用三角函数的定义求出tan∠CAC₁与tan∠CAA₁的值，然后通过等量代换求出∠CAC₁+∠CAA₁的度数．
解答：解：设△ABC滚动240°时，C点的位置为C₁，△ABC滚动480°时，A点的位置为A₁．
∵正△ABC的边长为2，
∴C₁H=MC1×tan60°=2×=即正△ABC的高为，
MH=MD=×2=1，
∴tan∠CAC₁==，
tan∠CAA₁==，
∴由公式tan（α+β）=，
得：tan（∠CAC₁+∠CAA₁），
=，
=（+）÷（1-×）
=．
∴∠CAC₁+∠CAA₁=30°．
故答案为30°．
点评：本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，旋转的性质，正确判断△ABC滚动的轨迹，利用转化思想和等量代换思想是解答此题的关键．