题目内容
（2012•贵阳模拟）如果一个三角形和一个矩形满足下列条件：三角形的一边与矩形的一边完全重合，并且三角形的这条边所对的角的顶点落在矩形与三角形重合的边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”． 如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”．我们发现：当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．
（1）仿照以上叙述，请你说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”；
（3）若△ABC是锐角三角形，且AB=5cm，AC=7cm，BC=8cm，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最大的矩形并说明理由．
（1）仿照以上叙述，请你说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”；
（3）若△ABC是锐角三角形，且AB=5cm，AC=7cm，BC=8cm，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最大的矩形并说明理由．
分析：（1）仿照友好矩形的定义即可得出友好平行四边形的定义；
（2）根据友好矩形的定义得出分别以AB为边和对角线得出△ABC的所有“友好矩形”即可；
（3）利用勾股定理得出BD，AD的长，进而分别求出以BC、AB、AC为边的“友好矩形”周长比较即可．
（2）根据友好矩形的定义得出分别以AB为边和对角线得出△ABC的所有“友好矩形”即可；
（3）利用勾股定理得出BD，AD的长，进而分别求出以BC、AB、AC为边的“友好矩形”周长比较即可．
解答：解：（1）三角形的一边与平行四边形的一边完全重合，并且三角形的这条边所对的角的顶点落在平行四边形与三角形重合的边的对边上，
则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．
（2）如图②所示：
（3）如图③，过A做AD⊥BC于D
设BD长为x cm，则DC长为（8-x）
在Rt△ABD和Rt△ADC中AD2=AB2-BD2=52-x2，AD2=AC2-DC2=72-（8-x）2
则52-x2=72-（8-x）2
解得：x=2.5，
过A做AD⊥BC于D，则有AD=
=
，
则以BC为边的“友好矩形”周长为：8×2+
×2=16+5
≈24.66，
以AB为边的“友好矩形”周长为：2×5+2×4
=10+8
≈23.86，
以AC为边的“友好矩形”周长为：7×2+2×
=14+
≈23.56，
∴以BC为边的“友好矩形”周长最大．
则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．
（2）如图②所示：
（3）如图③，过A做AD⊥BC于D
设BD长为x cm，则DC长为（8-x）
在Rt△ABD和Rt△ADC中AD2=AB2-BD2=52-x2，AD2=AC2-DC2=72-（8-x）2
则52-x2=72-（8-x）2
解得：x=2.5，
过A做AD⊥BC于D，则有AD=
| 52-2.52 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
则以BC为边的“友好矩形”周长为：8×2+
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
以AB为边的“友好矩形”周长为：2×5+2×4
| 3 |
| 3 |
以AC为边的“友好矩形”周长为：7×2+2×
| 20 |
| 7 |
| 3 |
| 40 |
| 7 |
| 3 |
∴以BC为边的“友好矩形”周长最大．
点评：此题主要考查了四边形综合题以及勾股定理等知识，考查学生的阅读理解、综合分析及分类讨论能力，难度较大．
练习册系列答案
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