Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AC=40，点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于点E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，且PM=PN，tan∠EMP=3．
（1）如图，当点E与点C重合时，求MP的长；
（2）设AP=x，△ENB的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出当x取何值时，y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求出AB的值，然后又三角形的面积公式建立等量关系求出EP的值，最后在Rt△CMP中由题目条件通过解直角三角形就可以求出MP的值．
（2）分E在AC上和在BC上时两种情况进行考虑，先利用三角形相似求出EP的值，再通过解直角三角形求出MP的值，最后根据三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式．根据自变量的取值范围和化为顶点式就可以求出其最大值．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AC=40，
∴AB=

BC2+AC2

=

302+402

=50．  
由面积公式可得  AB•CP=BC•AC．
∴CP=

BC•AC

AB

=

30×40

50

=24． 
∵PC⊥AB，tan∠CMP=3，
∴MP=

CP

tan∠CMP

=8． 
（2）分两种情况考虑：
①当点E在线段AC上时，如图②，
在Rt△AEP和Rt△ABC中，
∵∠APE=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△APE∽△ACB．
∴

EP

BC

=

AP

AC

，即 

EP

30

=

x

40

，
∴EP=

3

4

x．
∵tan∠EMP=3，
∴MP=

EP

tan∠EMP

=

1

4

x=PN．
∴BN=AB-AP-PN=50-x-

1

4

x=50-

5

4

x．
∴y=

1

2

BN•EP=

1

2

(50-

5

4

x)•

3

4

x=-

15

32

x2+

75

4

x．
当点E与点C重合时，AP=

402-242

=32．
∴自变量x的取值范围是：0＜x＜32． 
②当点E在线段BC上时，如图③，
在Rt△BPE和Rt△BCA中，
∵∠BPE=∠BCA=90°，∠B=∠B，
∴△BPE∽△BCA．
∴

EP

AC

=

BP

BC

，即 

EP

40

=

50-x

30

，
∴EP=

4

3

(50-x)．
∵tan∠EMP=3，
∴MP=

EP

tan∠EMP

=

4

9

(50-x)=PN．
∴BN=AB-AP-PN=50-x-

4

9

(50-x)=

5

9

(50-x)．
∴y=

1

2

BN•EP=

1

2

×

5

9

(50-x)×

4

3

(50-x)=

10

27

(50-x)2．
y与x的函数关系式为y=

- 15 32 x2+ 75 4 x(0＜x＜32) 10 27 (50-x)2(32≤x＜50)

当点E在线段AC上时，y=-

15

32

x2+

75

4

x=-

15

32

(x-20)2+

375

2

，
此时，当x=20时，y有最大值为

375

2

．
而当点E在线段BC上时，y的最大值为点E与点C重合时，显然没有

375

2

大．
∴当x=20时，y有最大值，最大值为

375

2

．

点评：本题考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，三角形的面积，锐角三角形函数的定义的运用．