Question

【题目】如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC=∠DAE．

（1）试说明：△ABC≌△ADE；

（2）试说明CA平分∠BCD；

（3）如图（2），过点A作AM⊥CE，垂足为M，试说明：∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】解：（1）证明：如图，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADE+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠ADE，

在△ABC与△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（ASA）；

（2）证明：如图，∵△ABC≌△ADE，

∴AC=AE，且∠BCA=∠E

∴∠ACD=∠E，

∴∠BCA=∠ACD，即CA平分∠BCD；

（3）由（1）得△ABC≌△ADE，

∴AC=AE，

∵DA⊥AB，

∴∠BAC+∠CAD=90°，

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠DAE+∠CAD=90°，∠CAE=90°，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∵AM⊥CE，

∴△ACM和△AEM都是等腰直角三角形，

∴∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°．