Question

设a，b，c，d为正整数，并且ab=cd，试问a+b+c+d能不为质数？

Answer 1

分析：证明一个数为合数时，一定要注意其因数大于1．

解答：解：由于ab=cd，故由质因数分解定理，
存在正整数c₁，c₂，d₁，d₂，使得d=d₁d₂，a=c₁d₁，b=c₂d₂，
于是a+b+c+d=（c₁+d₂）（c₂+d₁）为合数．
全解2：由于a+b+c+d=a+b+c+

ab

c

=

(a+c)(b+c)

c

为整数，
从而存在整数c₁，c₂，使c=c₁c₂，
且

a+c

c1

与

b+c

c2

均为整数，
将它们分别记作k与m，由a+c＞c≥c₁，b+c＞c≥c₂，
得k＞1，且m＞1，从而a+b+c+d=km为合数，
即不可能为质数．

点评：本题主要考查的质数与合数的概念，在解答此题时，首先要熟练掌握质因数分解定理．