Question

【题目】若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：

①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形

②以， ， 的长为边的三条线段能组成一个三角形

③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形

④以， ， 的长为边的三条线段能组成直角三角形

其中所有正确结论的序号为______．

Answer 1

【答案】②③．

【解析】解：（1）直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2，因而以a2，b2，c2的长为边的三条线段不能满足两边之和＞第三边，故不能组成一个三角形，故错误；

（2）直角三角形的三边有a+b＞c（a，b，c中c最大），而在， ， 三个数中最大，如果能组成一个三角形，则有+＞成立，即 ，即，（由a+b＞c），则不等式成立，从而满足两边之和＞第三边，则以， ， 的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；

（3）a+b，c+h，h这三个数中c+h一定最大，（a+b）2+h2=a2+b2+2ab+h2，（c+h）2=c2+h2+2ch

又∵2ab=2ch=4S△ABC

∴（a+b）2+h2=（c+h）2，根据勾股定理的逆定理

即以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形．故正确；

（4）若以， ， 的长为边的3条线段能组成直角三角形，假设a=3，b=4，c=5．∵（ ）2+（）2≠（）2，∴以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，故错误．

故答案为：②③．