Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE．连接BF、CF、AC．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）如果DE=6，EC=4，BE=9 求证四边形ABFC是矩形．

Answer 1

分析：（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
（2）利用题目提供的线段长度可得出

DE

BE

=

CE

DE

，从而可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形．

解答：证明：（1）连接BD，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，∠ABC=∠DCB，
∴△ABD≌△DCA，
∴∠ABD=∠ACD，
∴∠ACB=∠DBC
∵DE⊥BC，EF=DE，
∴BD=BF，∠DBC=∠FBC，
∴AC=BF，∠ACB=∠CBF
∴AC∥BF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）∵DE=6，EC=4，BE=9，
∴DE²=BE•CE，

DE

BE

=

CE

DE

，
∵∠DEB=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DEC，
∴∠CDE=∠DBE，
∴∠BFC=∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠BDE+∠DBE=90°，
∴四边形ABFC是矩形．

点评：本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大，注意各知识点的融会贯通．