题目内容
如图1，图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB（与地面平行）或绕定点P（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持AP=A′P，BP=B′P）．通过向下踩踏点A到A′（与地面接触点）使点B上升到点B′，与此同时传动杆BH运动到B'H'的位置，点H绕固定点D旋转（DH为旋转半径）至点H'，从而使桶盖打开一个张角∠HDH′．如图3，桶盖打开后，传动杆H′B′所在的直线分别与水平直线AB、DH垂直，垂足为点M、C，设H′C=B′M．测得AP=6cm，PB=12cm，DH′=8cm．要使桶盖张开的角度∠HDH'不小于60°，那么踏板AB离地面的高度至少等于多少cm？（结果保留两位有效数字）（参考数据：
≈1.41，
≈1.73）
解：作A′N⊥AB于N点．在Rt△H′CD中，
若∠HDH′不小于60°，
则
，即H'C≥
H'D=4．∵B'M=H'C≥4
，又∵Rt△A′NP∽Rt△B′MP，
∴
=
，∴A′N=
≥
=2≈3.5cm．∴踏板AB离地面的高度至少等于3.5cm．
分析：如图所示，要想求出踏板AB离地面的高度至少等于多少cm，即必须求出A′N，而A′N∥B′M，所以△A′NP∽△B′MP，又∵A′P和PB′的长为已知量，所以在
成立的前提下，必须求出MB′，而MB′=H′C，因此最终解决点是求出H′C，在△H′CD中
=sin60°=，由此可以求出H′C=MB′，因此可以求出NA′=3.5，所以AB离地面至少3.5cm．点评：解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到相似三角形和解直角三角形中，利用它们的性质只要求出CH′的长，一切问题都迎刃而解．
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