Question

14、两个正整数之和为667，其最小公倍数是它们的最大公约数的120倍，那么满足条件的正整数有

2

组．

Answer 1

分析：根据最大公约数与最小公倍数的关系：设a，b为两个自然数，则（a，b）和[a，b]有如下关系：ab=（a，b）×[a，b]或[a，b]=ab/（a，b）来求解．

解答：解：设所求的两个数是a、b．则由已知条件得
[a，b]=120•（a，b），
∴a•b=（a，b）•[a，b]=120•（a，b）²，
又∵a+b=667=23×29，
当（a，b）=23时，120=5×24，29=5+24，
∴所求的数为5×23和24×23，
即115和552，
当（a，b）=29时，120=8×15，23=8+15，
∴所求的数为8×29和15×29，即232和435，
故满足条件的正整数有2组．
故答案为：2．

点评：本题考查的是关于最大公约数与最小公倍数的题目．最大公约数和最小公倍数之间的关系：设a，b为两个自然数，则（a，b）和[a，b]有如下关系：ab=（a，b）×[a，b]或[a，b]=ab/（a，b）．