Question

【题目】如图1，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在x轴的负半轴)，与y轴交于点C． 抛物线的对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，点P是线段DE上一动点(点P不与DE两端点重合)，连接PC、PO．

(1) 求抛物线的解析式和对称轴；

(2) 求∠DAO的度数和△PCO的面积；

(3) 在图1中，连接PA，点Q 是PA 的中点．过点P作PF⊥AD于点F，连接QE、QF、EF得到图2．试探究: 是否存在点P，使得 ，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）45°；；（3）存在，

【解析】

（1）把C点坐标代入解出解析式，再根据对称轴即可解出．

（2）把A、D、E、C点坐标求出后，因为AE=DE，且DE⊥AE，所以∠DAO=，P点y轴的距离等于OE，即可算出△POC的面积．

（3）设出PE=m，根据勾股定理用m表示出PA，根据直角三角形斜边中线是斜边的一半可以证明AQ=FQ=QE=QP，所以△AQF和△AQE都是等腰三角形，又因为∠DAO=，再根据角的关系可以证明△FEQ是等腰直角三角形，再根据，解出m即可．可以通过圆的性质，来判断△FEQ是等腰直角三角形，再根据建立等式算出m即可．

解: (1) 将C代入求得a=，

∴抛物线的解析式为；

由可求抛物线的对称轴为直线

(2) 由抛物线可求一些点的坐标:

∴ AE=DE=3，又DE⊥AE

∴△ADE是等腰直角三角形 ∴∠DAO=45°

作PM⊥y轴于M，在对称轴上的点P的横坐标为-1，∴PM=1，又OP=

∴△OPC的面积为

(3)解:存在点满足题目条件．

解法一: 设点P的纵坐标为m（0<m<3），则PE=m，

∵点Q是PA的中点，∴QE、QF分别是Rt△PAE、Rt△PAF的公共斜边PA上的中线

∴QE=QF=AQ=PQ=

∵QE=AQ，QF=AQ ∴∠EAQ=∠AEQ，∠FAQ=∠AFQ

∴∠EQP=2∠EAQ，∠FQP=2∠FAQ

∴∠EQF=2（∠EAQ + ∠FAQ ) =2∠DAO=90°

又∴QE=QF ∴△EFQ是等腰直角三角形

∴△EFQ的面积为

由得解得

∵0<m<3 ∴∴在抛物线对称轴上的点P的坐标为

解法二: 设点P的纵坐标为m（0<m<3），则PE=m，

∵点Q是PA的中点，∴QE、QF分别是Rt△PAE、Rt△PAF的公共斜边PA上的中线

∴QE=QF=AQ=PQ=

∴四边形PEAF内接于半径为QE的⊙Q，

∴∠EQF=2∠DAO=90°

又∴QE=QF ∴△EFQ是等腰直角三角形

∴△EFQ的面积为

由得解得

∵0<m<3 ∴∴在抛物线对称轴上的点P的坐标为