题目内容
如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=125，AD=DC=80，问对角线BD能否把梯形分成两个相似的三角形？若不能，给出证明；若能，求出BC、BD的长．
分析：先假设能分成两个相似的三角形，根据两直线平行，内错角相等，可以找到一对对应顶点，写出两组相似三角形，然后利用相似三角形的性质求出BC与BD的长，对使对应边的比不等的三角形要舍去．
解答：解：假设能分成两个相似的三角形，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC．
则两个相似三角形有下面两种情况：
（1）△ABD∽△BDC
∴
=
=
，
即：
=
=
，
解得：BD=100，BC=64．
（2）△ABD∽△CDB，
∴
=
=
，
即：
=
=1．
显然
≠1，所以不能这样对应相似．
所以只能是：△ABD∽△BDC，
此时BC=64，BD=100．
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC．
则两个相似三角形有下面两种情况：
（1）△ABD∽△BDC
∴
| AB |
| BD |
| BD |
| DC |
| AD |
| BC |
即：
| 125 |
| BD |
| BD |
| 80 |
| 80 |
| BC |
解得：BD=100，BC=64．
（2）△ABD∽△CDB，
∴
| AB |
| CD |
| AD |
| CB |
| BD |
| DB |
即：
| 125 |
| 80 |
| 80 |
| CB |
显然
| 125 |
| 80 |
所以只能是：△ABD∽△BDC，
此时BC=64，BD=100．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据梯形的两底平行内错角相等，找到一对对应顶点，因为另两个对应顶点不确定，所以写出两组相似三角形，再用相似三角形的性质进行计算，求出BC与BD的值．
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| ||||
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| ||||
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|
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