Question

8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，若E、F分别是AB、AC上的动点，点E从B向A运动，点F从A向C运动，运动的速度为每秒一个单位长度，点E和点F同时出发，运动时间为t秒．
（1）若AB=6，当t=1秒时，求△AEF的面积；
（2）当B、F在AB、AC上时，求证：△AEF是等腰直角三角形；
（3）在（2）的条件下．点F、E继续沿着直线AB、AC运动，请问：（2）中结论还成立吗？

Answer 1

分析 （1）根据题意得：BE=AF=1，Rt△AEF的面积=$\frac{1}{2}$AE•AF，即可得出结果；
（2）由等腰直角三角形的性质得出∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，AD⊥BC，得出AD=BD=DC，由SAS证明△BDE≌△ADF，得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，再证∠EDF=90°，即可证出△DEF是等腰直角三角形；
（3）证出∠DAF=∠DBE=135°，同（1）由SAS证明△BDE≌△ADF，得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，再证出∠EDF=90°即可．

解答 （1）解：根据题意得：BE=AF=1，
∵∠BAC=90°，AB=AC=6，
∴AE=5，
∴△AEF的面积=$\frac{1}{2}$AE•AF=$\frac{1}{2}$×5×1=$\frac{5}{2}$；
（2）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC中点，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，AD⊥BC，
∴AD=BD=DC，
在△BDE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=AF}&{\;}\\{∠B=∠DAC}&{\;}\\{BD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
即∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
（3）解：（2）中结论还成立‘理由如下：
由（2）得：AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°
∴∠DAF=∠DBE=135°，
在△BDE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=AF}&{\;}\\{∠DBE=∠DAF}&{\;}\\{BD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵∠ADE-∠BDE=90°，
∴∠ADE-∠ADF=90°，
即∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算方法等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．