题目内容

如图，在△ABC中，AE=EB，AF=FC，有一同学发现EF与BC存在以下关系：EF∥BC，且EF= $数学公式$ BC．
（1）请你用学过的知识来说明上述关系成立的理由．
（2）如图：在（1）的结论下，过BC、EF作直线，过A作BC的平行线．将AC向左平移到DC，得到图②，将AC向右平移到DC，得到图③．在图②和图③中猜想线段EF与线段AD、BC的关系，请把你猜想的结论填在图下的方框内，并说明理由．

解：（1）理由如下：延长EF到点D，使FD=EF，
在△AEF与△CDF中， $\text{[math]}$ ，
∴△AEF≌△CDF（SAS），
∴AE=DC，∠D=∠AEF，
∴CD∥AB，
∵AE=EB，
∴DE=EB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴ED∥BC，且ED=BC，
∴EF∥BC，且EF= $\text{[math]}$ BC；

（2）如图②所示，根据（1）得，EG∥BC，且EG= $\text{[math]}$ BH，
根据题意得，AD∥BC，CD∥AH，
∴四边形ADCH是平行四边形，
∵EG∥BC，
∴FG= $\text{[math]}$ （AD+CH），
∴EF=EG-FG= $\text{[math]}$ BH- $\text{[math]}$ （AD+CH）= $\text{[math]}$ （BH-CH）- $\text{[math]}$ AD= $\text{[math]}$ （BC-AD）；
如图③所示，根据（1）得，EG∥BC，且EG= $\text{[math]}$ BH，

根据题意得，AD∥BC，CD∥AH，
∴四边形ADCH是平行四边形，
∵EG∥BC，
∴FG= $\text{[math]}$ （AD+CH），
∴EF=EG+FG= $\text{[math]}$ BH+ $\text{[math]}$ （AD+CH）= $\text{[math]}$ （BH+CH）+ $\text{[math]}$ AD= $\text{[math]}$ （BC+AD）．
分析：（1）延长EF到点D，使FD=EF，然后利用边角边定理证明△AEF与△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DC，对应角相等可得∠D=∠AEF，再根据内错角相等两直线平行可得CD∥AB，从而证明四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等即可得证；
（2）图②中，根据（1）的结论可得EG∥BH且EG= $\text{[math]}$ BH，再根据平移可知四边形ADCH是平行四边形，且FG∥BC，从而得到FG= $\text{[math]}$ （AD+CH），最后根据EF=EG-FG整理即可得解；
图③中，同理可得EF=EG+FG，然后整理即可得解．
点评：本题考查了三角形中位线的证明，以及三角形中位线定理的拓广，作出辅助线找出中位线EF的2倍长度，构造出平行四边形并进行证明四边形BCDE是平行四边形是解决本题的关键．