Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图①．

（1）若BD是AC的中线，如图②，求的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分线，如图③，求的值；
（3）结合（1）、（2），请你推断的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：设AB=AC=1，CD=x，则0<x<1，BC=，AD=1﹣x，
在Rt△ABD中，BD²=AB²+AD²=1+（1﹣x）²=x²﹣2x+2，
由已知可得Rt△ABD∽Rt△ECD，
∴，
即，
从而，
∴，0<x<1，
（1）若BD是AC的中线，则CD=AD=x=，得；
（2）若BD是∠ABC的角平分线，则，
得，解得：，
∴；
（3）若，则有3x²﹣10x+6=0，
解得：∈（0，1），
∴，
表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐减小，的值则随着D从A向C移动而逐渐增大。