Question

如图、A、B、C、三市在同一直线上，某天然气公司的主输气管道从A市沿A→B→C→D的线路输送天然气，某测绘员测得D市在A市东北方向，在B市正北方向，在C市北偏西60°方向．C市在A市北偏东75°方向．B、D两市相距20km，问天然气从A市输送到D市的路程是多少？（结果保留整数，参考数据：

2

≈1.4，

3

≈1.7）

Answer 1

分析：由已知D地在A地北偏东45°方向，C地在A地北偏东75°方向，D地在A地北偏东45°方向可知∠DAB=30°∠ADB=45°，则在△ABD中已知两角和边BD=20km，求AD的长，可以通过作AD边上的高转化为解直角三角形解决．

解答：解：过B作BH⊥AD于H．
依题意∠BDH=45°，∠CBD=75°，∠BAD=75°-45°=30°．
在Rt△BDH中，HD=BH=BD•cos45°=10

2

km，
在Rt△ABH中，AH=

BH

tan30°

=10

6

，
AB=

BH

sin30°

=20

2

，
∴AD=AH+HD=10

6

+10

2

，
∵∠ABD=180°-75°=105°，
∴∠ADC=45°+60°=105°，
∴∠ABD=∠ADC．
又∵∠DAB=∠CAD，
∴△ABD∽△ADC，
∴

AD

AC

=

BD

CD

=

AB

AD

，
即：

10 6 +10 2

AC

=

20

CD

=

20 2

10 6 +10 2

，
解得：AC=20

2

+10

6

，CD=10

3

+10．
故天然气从A市输送到D市的路程是AC+CD=20

2

+10

6

+10

3

+10≈79（km），
答：天然气从A市输送到D市的路程约为79km．

点评：本题主要考查了方向角含义和相似三角形的判定以及性质，解题的关键是正确作出高线，利用特殊角的三角函数求出AD和AB的长．