Question

【题目】如图，，矩形的边、分别在、上，，，矩形沿射线方向，以每秒1个单位长度的速度运动．同时点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当点到达点时，矩形也停止运动，设点的运动时间为，的面积为．

（1）分别写出点到、的距离（用含的代数式表示）；

（2）当点不与矩形的顶点重合时，求与之间的函数关系式；

（3）设点到的距离为，当时，求的值；

（4）若在点出发的同时，点从点以每秒个单位长度的速度向终点A运动，当点停止运动时，点与矩形也停止运动，设点关于的对称点为，当的一边与的一边平行时，直接写出线段的长．

Answer 1

【答案】（1），；（2）当0＜t＜3时，；当3＜t＜7时，；（3）；（4），，

【解析】

（1）过点B作x轴垂线，利用相似三角形可求得；

（2）分2种情况，一种是点P在AD上，另一种是点P在CD上，然后利用三角形面积公式可求得；

（3）直接令即可求出；

（4）存在3种情况，第一种是：QP∥BD，第二种是EP∥CD或EQ∥CB，第三种是QE∥BD，分别按照几何性质分析求解．

（1）如下图，过点B作x轴垂线，垂足为点M

根据平移的特点，可得∠BOM=∠DBA

∵∠BMO=∠DAB=90°，∴△BMO∽△DAB

∵AB=4，AD=BC=3

∴BD=5

∵，OB=t

∴BM=，OM=

（2）情况一：当0＜t＜3时，图形如下，过点P作OD的垂线，交OD于点N

∵∠NDP=∠BDA，∠PND=∠BAD，∴△PND∽△BAD

∵AP=t，∴PD=3－t

∵，∴PN=

图中，OD=5+t

∴

情况二：当3＜t＜7时，图形如下，过点P作OD的垂线，交OD于点N

图中，PD=t－3，OD=5+t

同理，△PND∽△BCD，可得PN=

∴

（3）情况一：当0＜t＜3时

则h=PN=

∵

∴

解得：t=

情况二：当3＜t＜7时

则h=PN=

∵

∴

解得：t=7(舍)

（4）情况一：QP∥BD，图形如下

由题意可得：BQ=，AP=t，则QA=4－，DP=3－t

∵BD∥QP

∴

代入得：4

解得：t=

∴OD=5+t=

情况二：如下图，EP∥CD(或EQ∥CB)

∵点E是点A关于QP对称的点

∴EP=PA，EQ=QA，QP=QP

∴△APQ≌△EPQ

∵EP∥CD，CD⊥AD

∴EP⊥AD

∴∠APQ=∠EPQ=45°

∴△AQP是等腰直角三角形，AQ=PA

∴4－

解得：t=

∴OD=5+t=

情况三：如下图，QE∥BD，延长QE交DA于点N

∵△APQ≌△EPQ，∴∠QEP=∠QAP=90°

∴△ENP是等腰直角三角形

∵QN∥BD，∴∠NQA=∠DBA，∠A=∠A

∴△QNA∽△BDA

∵BQ=，AP=t，QA=4－，DP=3－t

∴

∴QN=5－，NA=3－t

∴EN=QN－QE=QN－QA=1－，NP=NA－AP=3－2t，EP=PA=t

∴在Rt△ENP中，

解得：t=或t=3(舍)

∴OD=5+t=