Question

【题目】如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．

（1）求证：△AEB≌△CFD；

（2）当∠ABE= 度时，四边形BEDF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）30°

【解析】

（1）根据矩形的性质得出AB=CD，∠A=∠C=90°，再根据角平分线的性质即可得出答案；

（2）先利用矩形的性质结合（1）得出的全等证明BEDF是平行四边形，再证明BE=DE即可得出答案．

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，

∴∠ABD=∠CDB，

∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，

∴∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠BDC，

∴∠EBA=∠FDC，

又∵AD∥BC，∠A =∠C，AB=DC ，

∴△AEB≌△CFD；

（2）由（1）可得AE=CF

又∵ABCD是矩形

∴AD=BC，AD∥BC

∴AD-AE=BC-CF，即ED=BF

∴EDFB是平行四边形

当∠ABE=30°时，∠ABD=2∠ABE=60°

∴∠EBD=∠ABD-∠ABE=30°

∴∠EDB=90°-∠ABD=30°

∴∠EBD=∠EDB

∴BE=ED

∴平行四边形BEDF是菱形