Question

二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，如图所示，AC=2，BC=，∠ACB=90°，求二次函数图象的关系式．

Answer 1

解：∵AC=2，BC=，∠ACB=90°，
∴AB==5；
∵∠AOC=∠ACB=90°，∠CAO=∠BAC，△AOC∽△ACB，
∴，
即AO=AC²÷AB=4，
∴AO=4，
∴BO=1；
∴A（-4，0），B（1，0）；
同理可证△ACO∽△CBO
∴，
即；
∴CO²=4，
∴OC=2，
∴C（0，-2），
设二次函数关系式为y=ax²+bx+c，
把A（-4，0），B（1，0），C（0，-2）分别代入上式，得
，
解得；
∴所求二次函数图象的关系式为y=．
分析：Rt△ABC中，由勾股定理易求得AB的长，利用射影定理即可得到AC²=AO•AB，从而求得AO、BO的值，进而由OC²=OA•OB，求得OC的长，由此可得A、B、C三点的坐标，进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式．
点评：此题主要考查的是二次函数解析式的确定、通过直角三角形和相似三角形的相关知识求得A、B、C三点的坐标，是解决问题的关键．