Question

如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC = ∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H.

   (1)求∠AGB的度数；                          

   (2)若∠ABC= 45°，⊙O的直径等于17，BD =15，求CE的长.

Answer 1

证明：（1）连结AD                          

            ∵∠DAC = ∠DEC  ∠EBC = ∠DEC

            ∴∠DAC = ∠EBC                  

            又∵AC是⊙O的直径 ∴∠ADC=90°   

              ∴∠DCA+∠DAC=90° ∴∠EBC+∠DCA = 90°

              ∴∠BGC=180°–（∠EBC+∠DCA) = 180°–90°=90°

              ∴∠AGB=90°                    

   （2）∵∠BDA=180°–∠ADC = 90°  ∠ABC = 45°  ∴∠BAD = 45°

        ∴BD = AD

        ∵BD =15  ∴AD =15                                

        又∵∠ADC = 90°    AC =17

         ∴由勾股定理 DC=  =8

         ∴BC=BD+DC=8+15=23                                

         ∵∠EBC=∠DEC，∠BCE=∠ECD，

∴△BCE∽△ECD                                      

∴

∴CE=