Question

5．如图，在正方形ABCD中，OE=OF．求证：△AOE≌△BOF，AE⊥BF．

Answer 1

分析 利用正方形的性质可得AO=BO，∠AOE=∠BOF，又OE=OF，可证明△AOE≌△BOF，得到AE=BF，延长AE交BF于点G，证明∠AEO=∠AFG．证明∠GAF+∠AFG=90°，即可解决问题．

解答 证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOF；
在△AOE与△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=OB}\\{∠AOE=∠BOF}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
延长AE交BF于点G；
∵△AOE≌△BOF，
∴∠AEO=∠OFG，即∠AEO=∠AFG．
∵AO⊥EO，
∴∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠GAF+∠AFG=90°，
∴AE⊥BF．
∴△AOE≌△BOF，AE⊥BF．

点评 此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是抓住图形中隐含的数量关系，数形结合，灵活运用正方形的性质、全等三角形的判定等来分析、判断、解答．