Question

已知多项式x²＋ax²＋bx＋c中，a，b，c为常数，当x=1时，多项式的值是1；当x=2时，多项式的值是2；若当x是8和－5时，多项式的值分别为M与N，求M－N的值．

Answer 1

解法1：当x=1时，1＋a＋b＋c=1，

∴a＋b＋c=0．   ①

当x=2时，8＋4a＋2b＋c=2，

∴4a＋2b＋c=－6 ②

联立①，②解得

当x=8时，M=512＋64a＋8b＋c，

当x=5时，N=－125＋25a－5b＋c．

∴M－N

=512＋64a＋8b＋c－(－125＋25a－5b＋c)

=637＋39a＋13b

=637－117＋39

=559．

解法2：同解法1得

M=512＋64a＋8b＋c，N=－125＋25a－5b＋c．

M－N=637＋39a＋13b．

由②－①得3a＋b=－6，

∴M－N=637＋13（3a＋b）=637－78=559．

解法3：设P（x）=x³＋ax²＋bx＋c

则P（1）=1，P（2）=2．

又设Q（x）=P（x）－x，

则Q（1）=0，Q（2）=0．

∵Q（x）是关于x的三次多项式，可设Q（x）=（x－1）（x－2）（x－m），其中m为常数．

于是M－N=P（8）－P（－5）

=[Q（8）＋8]－[Q（－5）＋（－5）]

=Q（8）－Q（－5）＋13

=7.6（8－m）－（－6）·（－7）(－5－m)＋13

=336－42m＋210＋42m＋13=559．