Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=CE=4

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，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）当x的值为多少时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
（3）当x的值为多少时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形．

Answer 1

分析：（1）首先分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，易得四边形AMND是矩形，由CD=CE=4

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，∠C=45°，可求得DN的长，继而求得梯形ABCD的面积；
（2）由（1）可得：BM=CB-CN-MN=3，若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，则∠APC=90°或∠DEB=90°，那么P与M重合或E与N重合，即可求出此时的x的值；
（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况：①当P在E的左边，利用已知条件可以求出BP的长度；②当P在E的右边，利用已知条件也可求出BP的长度．

解答：解：（1）如图，分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，
则四边形AMND是矩形，
∴AM=DN，AD=MN=5，
而CD=4

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，∠C=45°，
∴DN=CN=CD•sin∠C=4

2

×

2

2

=4=AM，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•DN=

1

2

×（5+12）×4=34；

（2）由（1）可得：BM=CB-CN-MN=3，
若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，
则∠APC=90°或∠DEB=90°，
当∠APC=90°时，
∴P与M重合，
∴BP=BM=3；
当∠DPB=90°时，P与N重合，
∴BP=BN=8；
故当x的值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；

（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，
有两种情况：①当P在E的左边，
∵E是BC的中点，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②当P在E的右边，
BP=BE+PE=6+5=11；
故当x的值为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形．

点评：此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．