Question

3．如图，直线y=kx+b分别交x轴、y轴正半轴于点A、B，其中A（6，0），P为x轴正半轴上一个动点．
（1）若OB：OA=4：3，求点B坐标及一次函数解析式；
（2）在（1）的条件下，连结BP，若BP平分∠OBA，求点P坐标及△BPA的面积；
（3）若OB=OA，在第一象限内作等腰直角△BPM，其中∠BPM=90°，直线MA交y轴于点C，则点C是否为定点？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定出OB，进而得出点B的坐标，再用待定系数法确定出直线解析式；
（2）根据角平分线定理得出方程求解即可得出点P坐标，最后用三角形的面积公式求解即可；
（3）先判断出△OBP≌△NPM，得出MN=OP=m，PN=OB=6，即可得出点M的坐标，最后用待定系数法得出直线AM解析式，即可得出点C坐标，即可判断．

解答 解（1）∵A（6，0），
∴OA=6，
∵OB：OA=4：3，
∴OB=8，
∴B（0，8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+8，
（2）∵OA=6，OB=8，
∴AB=10，
设P（a，0），
∴OP=a，ap=6-a，
∵BP平分∠OBA，
∴$\frac{OB}{AB}=\frac{OP}{AP}$，
∴$\frac{8}{10}=\frac{a}{6-a}$，
∴a=$\frac{8}{3}$，
∴P（$\frac{8}{3}$，0），PA=6-$\frac{8}{3}$=$\frac{10}{3}$，
∴S_△BPA=$\frac{1}{2}$PA×OB=$\frac{1}{2}$×$\frac{10}{3}$×8=$\frac{40}{3}$，
（3）点C是定点，理由：如图，

由（1）知，OA=6，
∵OB=OA，
∴OB=6，
∴B（0，6），
过点M作MN⊥OA，
设P（m，0），
由旋转知，BP=MP，∠BPM=90°，
∴∠BPO+∠MPN=90°，
∵∠OBP+∠BPO=90°，
∴∠OBP=∠NPM，
在△OBP和△NPM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBP=∠NPM}\\{∠BOP=∠PNM}\\{PB=PM}\end{array}\right.$，
∴△OBP≌△NPM，
∴MN=OP=m，PN=OB=6，
∴ON=m+6，
∴M（m+6，m），
∵A（6，0），
∴直线AM的解析式为y=x-6，
∴C（0，-6）为定点．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，全等三角形的判定，解本题的关键是判断出△OBP≌△NPM，是一道难度不大的中考常考题．