Question

如图，在中，以为直径的交于点，点为的中点，连结交于点，且.

（1）判断直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若的半径为2,,求的长.

Answer 1

（1）BC与⊙O相切,证明见解析；（2）.

试题分析：（1）连接AE，求出∠EAD+∠AFE=90°，推出∠BCE=∠BFC，∠EAD=∠ACE，求出∠BCE+∠ACE=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）根据AC=4，cosB=求出BC=3，AB=5，BF=3，AF=2，根据∠EAD=∠ACE，∠E=∠E证△AEF∽△CEA，推出EC=2EA，设EA=x，EC=2x，由勾股定理得出x²+4x²=16，求出即可．
试题解析:（1）BC与⊙O相切
证明：连接AE，

∵AC是⊙O的直径
∴∠E=90°，
∴∠EAD+∠AFE=90°，
∵BF=BC，
∴∠BCE=∠BFC，
∵E为弧AD中点，
∴∠EAD=∠ACE，
∴∠BCE+∠ACE=90°，
∴AC⊥BC，
∵AC为直径，
∴BC是⊙O的切线．
（2）∵⊙O的半为
∴AC=4，
∵cosB=，
∴BC=3，AB=5，
∴BF=3，AF=5-3=2，
∵∠EAD=∠ACE，∠E=∠E，
∴△AEF∽△CEA，
∴，
∴EC=2EA，
设EA=x，EC=2x，
由勾股定理得：x²+4x²=16，
x=（负数舍去），
即CE=．
考点: 1.切线的判定；2.勾股定理；3.相似三角形的判定与性质．