Question

如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（A点转到C点位置），抛物线y=ax²+bx+c经过C、D、B三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积；
（3）在抛物线上是否存在一点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积，若存在，请写出M点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角△AOB中，根据B，A的坐标就可以求得OB，OA的长，进而求的OC，OD的长，则C，D，B的坐标就可以求出来．根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（2）已知抛物线的解析式，就可以求出P的坐标，S_△PAB=S_{四边形PAOB}-S_△AOB=S_{四边形PEOB}-S_△PEA-S_△AOB就可以求出△PAB的面积．
（3）△MBC的底边BC的长度易得，BC边上的高线长就是M的纵坐标的绝对值，设M的纵坐标是y，根据三角形的面积公式就可以得到一个关于y的方程，求出y的值，即得到函数的纵坐标，就可以求出函数的横坐标．

解答：解：（1）由题意知C（-2，0），D（0，4）
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c
当x=0时，y=4，
∴c=4
4a-2b+4=0解之，
得a=-

1

2

16a+4b+4=0，
把a=-

1

2

代入，解得b=1
∴y=-

1

2

x²+x+4．（5分）

（2）y=-

1

2

（x-1）²+4

1

2

∴P（1，4

1

2

）
连接PA、PB，作PE⊥y轴于E
则S_△PAB=S_{四边形PAOB}-S_△AOB
=S_{四边形PEOB}-S_△PEA-S_△AOB
=6．（5分）

（3）设存在M点，其坐标为M（x，y）
则

1

2

|y|×6=6，
∴y=±2
当y=2时，-

1

2

x²+x+4=2，
解之，得x₁=1+

5

，x₂=1-

5

当y=-2时，-

1

2

x²+x+4=-2，
解之，得x₁=1+

13

，x₂=1-

13

故存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积，其坐标为：
M₁（1+

5

，2），M₂（1-

5

，2），
M₃（1+

13

，-2），M₄（1-

13

，-2）．（4分）

点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，是二次函数与三角形的面积的综合题．